三角形A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A平分线方程

在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),用三种方法求∠A的平分线的方程。


三角形A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A平分线方程

工具/原料

知识点一:角平分线定理及两点距离公式

知识点二:到角知识应用

知识点三:向量知识的应用

方法/步骤1:角平分线定理及两点距离公式

  [解题思路]:因为是角平分线,利用角平线定理即两点间距离公式来求点D,进而求其方程。

根据两点间距离公式得到:

AC=√[(4+4)^2+(1-7)^2]=10;

AB=√[(7-4)^2+(5-1)^2]=5;

BC=√[(-4-7)^2+(7-5)^2]=5√5.

设CD=x,则BD=5√5-x。

根据角平分线定理得到:

   BD/DC=AB/AC

   所以:

   (5√5-x)/x=5/10,得到:x=10√5/3,则CD=10√5/3,BD=5√5/3.

   设D(m,n),因为D在直线BC上,则有:

   (n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)],即:

   11n+2m-69=0

   2m=69-11n……(1)

CD^2=x^2=500/9=(m+4)^2+(n-7)^2…..(2)

BD^2=125/9=(m-7)^2+(n-5)^2…..(3)

(3)-(2)得到:

 375/9=8m+14m-14n+10n+16+49-49-25

化简:22m-4n-9=375/9

将(1)代入上式得到:

11(69-n)-4n-9=375/9

750-125n=375/9

125(6-n)=125*3/9

所以n=17/3,进一步得到m=10/3. 即D(10/3,17/3).

则AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.

所以角平分线的方程为:

y-1=-7(x-4)

即:7x+y-29=0.

方法/步骤2:到角知识应用

   [解题思路]:利用到角公式求出所求直线的斜率,直线经过A点,用点斜式即可得到直线方程。

直线AC的斜率k1=(7-1)/(-4-4)=-3/4

直线AB的斜率k2=(5-1)/(7-4)=4/3.

设∠CAD=∠DAB=∠a,角平分线的斜率=k,由到角公式得到:

(k-k2)/(1+k2·k)=(k1-k)/(1+k1·k)

代入数值得到:

(k-4/3)/(1+4k/3)=(-3/4-k)/(1-3k/4)

化简得到:

(3k-4)^2=(4k+3)^2

得到:k=-7或者k=-1/7,

因为k<k1,所以k=-7.

点斜式得到角平分线方程为:

y-1=(-7)(x-4)

即:7x+y-29=0.

方法/步骤3:向量知识的应用

   [解题思路]:利用向量点乘的有关知识进行求解。

   设D(m,n),因为D在直线BC上,则有:

   (n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)],即:

   11n+2m-69=0

   2m=69-11n……(1)

向量AC=(-8,6),向量AD=(m-4,n-1),则:

向量AC·向量AD=-8(m-4)+6(n-1)

=|AC|*|AD|*cos∠CAD………(2)

向量AB=(3,4),向量AD=(m-4,n-1),则:

向量AB·向量AD=3(m-4)+4(n-1)

=|AB|*|AD|*cos∠DAB………(3)

(2)/(3)得到:

[-8(m-4)+6(n-1)]/[ 3(m-4)+4(n-1)]=|AC|/|AB|=2

所以:

n+7m=29………(4)

由(1)、(4)解方程得到:

m=10/3,进而得到n=17/3,即D(10/3,17/3).

则AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.

所以角平分线的方程为:

y-1=-7(x-4)

即:7x+y-29=0.

注意事项

在直线的斜率问题中,在竖直方向的左侧,与竖直方向的夹角越小,其斜率也越小。

对于本题,角平分线的斜率小于直线AC的斜率。

原作者:王卫
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